Грані математики

 Урок  геометрії у 10 класі 

Тема. Розміщення прямої та площини у просторі: прямі, що перетинаються, паралельні, мимобіжні прямі

Мета уроку:

Дидактична мета:  формування знань учнів про взаємне розміщення прямої і площини в просторі; домогтися свідомого засвоєння поняття про мимобіжні прямі. Працювати над засвоєнням учнями змісту та схеми доведення теореми про проведення площини через дві паралельні прямі; систематизувати знання учнів щодо способів задання єдиної площини в стереометрії. Сформувати первинні вміння відтворювати вивчені означення та теореми, а також використовувати їх для розв’язування опорних задач.

Розвиваюча мета: розвивати логічне мислення, просторову уяву,увагу, кмітливість, силу волі; формувати навички застосування аксіом, конструктивного методу і методу "від супротивного" при доведенні властивостей фігур.
Виховна мета: розвиток алгоретмічної та інформаційної культури як особливого аспекту культури мислення; формування позитивних якостей особистості - розумової активності, пізнавального інтересу.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмінь та навичок

Обладнання: презентація, моделі куба і тетраедра, схема «Аксіоми стереометрії».

Хід уроку

І. Організаційний етап                          слайд 1

Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу. 

II. Перевірка домашнього завдання           слайд   2   

Вправа на встановлення відповідності

1) Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести …

2) Через дві точки простору можна провести …

3) Якщо дві площини мають спільну точку, то …

4) Якщо три точки лежать у кожній із двох різних площин, то …

А  безліч площин.

Б   площину, і до того ж тільки одну.

В   вони лежать на одній прямій.

Г   вони перетинаються по прямій, що містить цю точку.

Д   вони перетинаються по прямій.

III. формулювання мети й завдань уроку

Вступне слово вчителя

Після вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них наступним кроком є розгляд взаємного розміщення основних фігур простору – прямих і площин. Наступні чотири уроки ми будемо розглядати означення та властивості всіх можливих відношень між двома прямими у просторі. Завдання на цей урок - взаємне розміщення прямої і площини в просторі, вивчення означень паралельних, мимобіжних прямих. Теорема про проведення площини через дві паралельні прямі

IV. Актуалізація опорних знань                      слайд  3

Бліц – опитування

1. Які з наведених тверджень правильні?

1)Будь-які дві точки завжди лежать на одній прямій;

2) Будь-які три точки завжди лежать на одній прямій;

3) Будь-які чотири точки завжди лежать на одній прямій;

4) Серед точок простору можна вибрати три, які не лежать в одній площині.

   2. Чи однакові за змістом висловлювання: «Площина  α  і  β  перетинаються»  і   «Площина  α  і  β  мають спільну точку»  ?

3. чи можуть дві різні площини мати лише :

1) одну спільну точку;

2) дві спільні точки;

3) 2014 спільних точок ?

4. Чи можуть дві прямі у просторі перетинатися більше ніж в одній точці?

5. Відомо, що через три задані точки можна провести принаймні дві площини.

1) Яке взаємне розміщення цих точок?

2) Скільки площин можна провести через ці три точки?

V. Засвоєння знань

1. Пояснення з елементами бесіди                        слайд    4

1) Взаємне розміщення прямих

а) на площині;        б) у просторі     та їх позначення

2) Означення паралельних прямих;

3) Означення мимобіжних прямих

2. Теорема.                Слайд 5

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Доведення ознаки записується на дошці і в зошитах.

Дано: а || b; b  α

(рис.51).

Довести: а || α.

Доведення

Припустимо, що пряма а не належить площині α . Тоді   a і α мають спільну точку А.

Якщо А  b , то а і b мають спільну точку А, що суперечить умові.

Якщо А  не перетинає b , то а і b мимобіжні, що суперечить умові.

Отже, а || .

  Динамічна пауза .  Вправа «Буратіно».

Закрийте очі і уявіть, що ваш ніс виріс як у Буратіно. Вмочіть його в уявне чорнило і намалюйте те поняття, що вивчали. (Наприклад площина, пряма, кут…)

3. Кут між мимобіжними прямими        Слайд 8   

4. Властивості паралельних прямих      Слайд  9

VІ. Формування вмінь

1.     Виконання  усних вправ                 Слайд   6

                      Чи правильно, що:

1.     дві прямі, що не є паралельними, мають спільну точку;

2.     дві прямі, що не є мимобіжними, лежать в одній площині;         

3.     дві прямі, що лежать в одній площині, паралельні;

4.     дві паралельні прямі лежать в одній площині? 

 

2.     Виконання  письмових  вправ                 Слайд   7

1. Дано зображення куба АВСD1А1B1С1D1.

З’ясуйте взаємне розміщення прямих:

1.     СD і В ₁ D ;

2.     АВ і С1D1 ;

3.     АС і DD1 ;

4.     А1D і В1С ;

5.     А1С і АС1.

Мимобіжні, паралельні чи перетинаються  ?

2.Задачі на слайдах  12 - 17

3. Додаткові вправи

1. У трикутній піраміді SАВС точки М і N — середини ребер SА і SВ відповідно. Доведіть, що МN || (АВС).

 2. Дано площину α і поза нею точку А. Провести через точку А пря­му, паралельну даній площині α.

Розв'язання:

Аналіз.

За умовою А  a (рис. 52). Щоб пряма а, яка проходить через точку А, була паралельна площині , достатньо, щоб вона була паралельна прямій b, яка належить площині α. Звідси випливає план розв'язання:

1) в площині α проводимо довільну пряму b;

2) через пряму b і точку А проводимо площину β;

3)  через точку А проводимо пряму а: а || b.

Доведення:

 Згідно з ознакою паралельності прямої і площини маємо: а || α.

Дослідження. Пряма b проведена в площині α довільно, таких прямих нескінченна множина, отже, задача має нескінченну множину розв'язків.

3. Дано пряму а і точку А, яка не лежить на ній. Провести площину, яка проходить через точку А і паралельна прямій а.

4. Дано паралельні прямі а і b. Провести через пряму а площину, яка паралельна прямій b.

 VІІ. Домашнє завдання

§3. 2,  № 3.5, 3.7;  №3.12

 VI. Підведення підсумку уроку

Виконання практичних вправ           Слайд  18

Вважаючи лінії перетину стін, підлоги й стелі класної кімнати прямими, вкажіть:

1)     Три паралельні прямі, що не лежать в одній площині;

2)   Дві мимобіжні прямі;

3)   Дві прямі, що перетинаються, і третю пряму, паралельну одній із них і мимобіжну з другою

Слайд  19